Финансовая математика аст это

Финансовая математика аст это

Прочитав данную главу, вы будете знать:

  • o декурсивный и антисипативный способы;
  • o учет влияния инфляции.

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Проценты — это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.

Процентная ставка — показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.

Коэффициент наращения — величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.

Период начисления — промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.

Интервал начисления — минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).

Декурсивный способ

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) — это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.

Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) — годовая ставка ссудного процента (income); i — относительная величина годовой ставки процентов; I — сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

P — общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р — величина первоначальной денежной суммы (present value);

F — наращенная сумма (future value);

knкоэффициент наращения;

п — количество периодов начисления (лет);

d — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):

Тогда

Отсюда (6.1)

Тогда коэффициент наращения:

Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то

(6.2)

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.1):

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.2):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):

(6.3)

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.

Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п,, п2,…, nN, используются различные ставки процентов i1, i2,…, iN, где N — общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i1:

где n1 — количество периодов начисления при ставке процентов i1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.

Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N — номер последнего периода) при любом :

(6.4)

где коэффициент наращения: (6.5)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.5): kn = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Обратная задача:

Если пк = 1, то , (6.7)

где коэффициент наращения:. (6.8)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.8): kn = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить:

ic относительная величина годовой ставки сложных процентов;

knc коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j — номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма — составит: . За второй период (через год): и т.д.

Через п лет наращенная сумма составит:

(6.9)

где коэффициент наращения knc равен:

(6.10)

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.9)

Решая обратную задачу:

где — коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования — величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.

Можно определить другие параметры:

(6.11)

(6.12)

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

1)

где п — не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;

2)

где п = пц + d — общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; пп — количество целых (полных) периодов (лет) начисления; d — количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) — количество дней в году; ic относительная величина годовой ставки сложных процентов.

Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

  • 1) F = 25 000 (1 + 0,12)3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
  • 2) F = 25 000 (1 + 0,12)3(1 + (180 : 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина годовой ставки сложных процентов i1, i2,…, iN может быть разной в течение различных периодов начисления n1, n2,…, nN.

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В n-периоде (за п периодов (лет)):

(6.13)

Тогда коэффициент наращения:

(6.14)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.14): knc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Обратная задача:

Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал

(6.15)

где j = i — номинальная ставка сложных ссудных процентов; т — количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит

(6.16)

Кроме того, можно определить другие параметры:

(6.17)

(6.18)

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6/16) .

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

(6.19)

или

где пп — количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р — количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d — количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.19)



Источник: studme.org


Добавить комментарий